作者 | 大小吴

来源 | 大小吴的数学课堂

是每一个上过中学的人都熟知的事实，但是即便是非常简单的“负负得正”，你有想过这是为什么吗？今天大小吴就和大家来探讨一下这件事。

1 司汤达的疑问

将财产记为正数，负债记为负数对于普通人来说确实是一件易于理解的事，这种记录方式始于7世纪的印度，它适用于加减法的运算，比如，本来有10元，支出12元，对应的算式是

这里的对应的实际含义是“负债2元”。

然而，当要对其进行乘除法的时候，就会出现某些令人匪夷所思的问题，在12世纪，印度天文学家巴斯卡拉这样说道：“财产和财产的乘积，债金和债金的乘积均为财产，财产和债金的乘积则是债金。”根据他的说法，就有

这个公式是什么意思呢？恐怕无人能够理解。18世纪的大数学家欧拉在其著作《代数学入门》采用过同样的说明方法，这让许多学习数学的人在初遇负数相乘问题的时候感到一头雾水。

《红与黑》的作者，19世纪法国批判现实主义作家司汤达在其年少时酷爱数学，但他同样也困惑于“负负得正”问题，他在其自传中这样写道：

似乎是由于年少的单纯，使我认为在数学中是不可能有虚假的，然而当了解了谁也没加证明的（负×负）=（正）时，该怎么办才好呢（这是代数学的基础之一）。当考虑某人有负的借款时，为何1万法郎的借款乘以500法郎借款，就会变成500万法郎的财产了呢……

实际上，司汤达提出了每一个学习代数的人都必然会提出的问题，即为什么“负负得正”？该如何直观地理解这件事？

2 从实际的角度

问题出在了对正负数的说明上。仔细想想，对于什么是财产财产，债金债金，恐怕谁也无法说明，因为金额再乘以金额是没有实际意义的。

对此，《古今数学思想》的作者，美国数学史家和数学教育家M·克莱因通过“负债模型”巧妙地说明了“负负得正”问题：

一个人每天欠债5元，从给定日期开始（比如今天）3天后欠债15元。如果将5元的负债记作，那么“每天欠债5元，欠债3天”可以用数学来表达：

同样地，每天欠债5元，考虑这个人3天前的财产，那么就应该比今天的财产多15元。如果我们用表示3天前，用表示每天欠债，那么3天前他的财产情况就可以表示为

受此启发，我们也可以举出“批阅试卷”的例子来进行说明：

如果有一次考试某同学错了一道题，扣5分，则将其记为，对应的算式是：

这里的1表示的实际含义是1道错题。

换个角度想，假若是老师批错了，那么很显然这位同学扣除的5分就会加回去了，其得分是。1表示老师批对，那么相对应地，则表示老师批错，对应的算式是：

上述两个例子是自然的，也是合乎情理的，可以帮助我们理解“负负得正”。

3 从运算逻辑的角度

从运算逻辑的角度来说，负负也必须要得正，因为有理数的运算必须遵循乘法分配律：

我们规定实际上就是为了让负数的运算依然能保持乘法分配律的结果，例如：

则

根据乘法分配律，则有

因为，所以对于，其结果只能为1.

4 从几何的角度

给定，，则和均为正数。如图，则乘积表示的实际含义是以和为两边的矩形（斜线阴影部分）的面积。

那么，这个矩形是如何变换得到的呢？实际上，它是由原来以，为两边的大矩形先取走标以水平线阴影的矩形面积，再取走标以竖直线阴影的矩形面积，但这样取走了两次标以双重线阴影的矩形面积，必须将其放回，因此：

在这里如果令，便得到

即得到了负数相乘的符号法则。

5 不能加以证明的“负负得正”

实际上，上述对“负负得正”的一些看似合理的说明充其量只是某些“解释”，而不能将其称之为严格的数学证明。特别是上面“从几何角度来说明负负得正”的例子，这样的“论证”是虚假的，因为它完全忽视了

公式之所以成立取决于不等式，，而令则完全违背了这一点。

负数经过了很长一段时间才被人们所接受，很难相信直到17世纪其合法性还不能像正整数那样被人们所普遍承认，当有必要使用它们时，人们是相当犹疑和不安的，数学家有时将负数称为虚构数、假数之类。因为人类的天性更倾向于依附“具体”的事物，比如可数的物体（正整数）。对负数的运算毫无疑问是抽象的，为此人们曾反复地企图证明符号法则，但都失败了。

对数学家来说，经过了很长一段时间才认识到“负负得正”以及负数、分数所服从的其他定义是不能加以“证明”的。它们是我们创造出来的，为的是在保持算术基本规律的条件下使运算能够自如。能够并且必须加以证明的仅仅是：在这些定义的基础上，算术的交换律、结合律、分配律是保持不变的。

参考文献：

[1]（日）远山启.数学与生活[M].吕砚山等译.人民邮电出版社，2014.

[2]（美）R·柯朗，H·罗宾. 什么是数学——对思想和方法的基本研究[M].复旦大学出版社，2012.

[3]（德）菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学（第一卷）——算术 代数 分析[M].舒湘芹等译.复旦大学出版社，2008.